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計算機と公理

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数学の多くは自然現象や直感的観察に由来している。
たとえば：

  • 「数える」行為（1匹、2匹、3匹）は自然な認知活動。

  • 「形を比べる」「距離を測る」も身体的感覚に基づく。

しかし、これらを論理的・記号的体系に整理したのは人間であり、
数学は「自然の抽象化としての人工言語」といえる。

数学的ルールに意見が分かれる理由

数学では「どの公理を採用するか」で結果が変わる。
歴史上、異なる選択が複数の体系を生んできた。

🌍 幾何学の例

ユークリッド幾何学の平行線公理を変えると：

体系平行線の性質幾何学体系
ユークリッド幾何学1本だけ存在平面幾何
リーマン幾何学0本（交わる）球面幾何（相対論で利用）
ロバチェフスキー幾何学無限本双曲幾何

無限の扱いの違い

  • 古代：無限は「不完全で危険な概念」

  • 近代：カントールにより集合論が生まれ、無限が数学的対象に。

数学哲学

立場内容特徴代表者
プラトニズム数学的対象は人間の外に存在する。数学は「発見」。真理は宇宙にあるプラトン、ペンローズ
形式主義数学はルールに従う記号操作ゲーム。一貫性が真理の基準ヒルベルト
直観主義数学は人間の心が構成する。無限は構成できる範囲のみ。構成可能性を重視ブラウワー

この違いは計算可能性や停止問題の基礎にもなる。

選択公理と連続体仮説

Axiom of Choice

「無限集合の各要素から1つずつ選ぶ」ことが常にできると仮定。

  • 採用：多くの定理（ハーン-バナッハなど）が成り立つ

  • 否定：より「構成的」だが、証明できることが減る

📚副作用：
選択公理を採用すると「バナッハ＝タルスキーのパラドックス」が出現
→ 球を分割・再構成すると、同じ大きさの球が2つできる。

連続体仮説（CH）

整数と実数の間に中間的な濃度をもつ集合は存在するか？

ゲーデルとコーエンの結果：

  • CHを「真」としても矛盾しない

  • CHを「偽」としても矛盾しない

つまり 「独立命題」（選んだ公理体系次第で真偽が変わる）

計算機のズレ

現実の計算機では、数学的ルールがそのまま適用できない。

🔢 浮動小数点の有限表現

コンピュータは実数を2進数の有限ビットで近似するため：

0.1 + 0.2 == 0.3  # False

実際は 0.30000000000000004 などの誤差。

結合法則が崩れる

数学では だが、
丸め誤差で結果が変わる：

(double)(a + b) + c != a + (b + c)

集合論的な差異

数学に「未定義な値」は存在しないが、
計算機では NaN（Not a Number）や NULL が必要。

例：

NULL = NULL  -- false

→ 「存在しないもの同士は等しいと言えない」という論理体系。

オーバーフロー・アンダーフロー

整数型も有限であり、
16ビット整数では を超えるとゼロに戻る。

現実世界における弊害例

分野事例原因結果
宇宙開発アリアン5爆発（1996）64bit→16bit変換でオーバーフロー制御装置誤動作
金融銀行勘定の「1円ズレ」浮動小数点の丸め誤差損益誤差・会計不一致
AI学習の再現性欠如並列演算・誤差累積モデル出力が非決定的
暗号疑似乱数無限な真乱数を生成できない安全性に依存
科学計算極限近似無限を有限ステップで表現精度限界・不安定化

有限手続きとチューリング完全性

チューリング完全（Turing Complete）

有限のルールとメモリで、理論上あらゆる計算を表現できる体系。

Python、C、JavaScript など一般言語はチューリング完全。

ただし、「表現できる」＝「停止して答えが出る」ではない。

停止問題（Halting Problem）

アラン・チューリング（1936）が証明：

任意のプログラムが停止するかどうかを判定する一般的アルゴリズムは存在しない。

def paradox(x):
    if stops(x):
        while True: pass
    else:
        return

もし stops() が存在すれば、この関数に自身を渡したときに矛盾が発生する。
よって「停止性を判定する汎用関数」は理論的に存在しない。

有限ステップで無限を扱う限界

チューリングマシン（理論上の計算機）は「無限テープ」を想定しているが、
実際のコンピュータは有限メモリしか持たない。

そのため：

  • や は有限桁近似でしか表せない。

  • は有限反復で近似するしかない。

つまり、計算機は「構成的直観主義」に従って動くといえる。
→ 「存在」は「構成できる」ことと同義。

観点数学計算機（チューリング完全系）
無限仮定して扱う近似または省略
真理論理的存在計算可能な範囲でのみ成立
停止性問題にならない一般に判定不能（停止問題）
精度無限精度有限ビット
公理選択可能（独立）実装で固定される
誤差理論上ゼロ累積する

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